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一、题文

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，∠BAD=45°，DC=2，AB=6，AE⊥BD，垂足为点F．（1）求∠DAE的余弦值；（2）设=，=，用向量、表示．

二、解答

解：（1）作DM⊥AB于M，如图所示：则四边形BCDM是矩形，∴BM=CD=2，BC=DM，∴AM=AB-BM=4，∵∠BAD=45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴BC=DM=AM=4，AD=AM=4，∵AB∥CD，∠ABC=90°，∴∠BDC=∠ABF，∠C=90°，∴BD===2，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°=∠C，∴△ABF∽△BDC，∴=，即=，解得：AF=，∴cos∠DAE===；（2）同（1）得：△ABE∽△BCD，∴=，即=，解得：BE=3，∴BE=BC，∴==，∵AB∥CD，DC=2，AB=6，∴AB=3DC，∴=3=3，∴=+=3+．

三、分析

（1）作DM⊥AB于M，则四边形BCDM是矩形，得出BM=CD=2，BC=DM，证出△ADM是等腰直角三角形，得出BC=DM=AM=4，AD=AM=4，由勾股定理得出BD==2，证明△ABF∽△BDC，得出=，得出AF=，由三角函数定义即可得出答案；（2）同（1）得△ABE∽△BCD，得出=，求出BE=3，得出==，求出=3=3，即可得出=+=3+．本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、梯形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平面向量、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．

本文到此结束，希望对大家有所帮助。